Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.CMN.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.CMN
A. R = a 29 8
B. R = a 93 12
C. R = a 37 6
D. R = 5 a 3 12
Đáp án B
Xét trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, với O là trung điểm của AD
Chọn a = 1 => 
=> Trung điểm của MN là 
Phương trình đường thẳng qua E, song song với Oz là 
Gọi I là tâm mặt cầu cần tìm => 
Suy ra 
Mà 
Vậy 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN
A. R = 5 a 3 12 .
B. R = a 29 8 .
C. R = a 93 8 .
D. R = a 37 6 .
Đáp án C.
Chọn hệ trục tọa độ với H ≡ O 0 ; 0 ; 0 D 1 2 ; 0 ; 0 . Chọn a = 1.
M 0 ; 1 ; 0 ; N 1 2 ; 1 2 ; 0 ; S 0 ; 0 ; 3 2 ; C 1 2 ; 1 ; 0 là: x = 1 4 y = 3 4 z = t ⇒ tâm mặt cầu có tọa độ K 1 4 ; 3 4 ; t
Giải:
S K = K C ⇔ 1 16 + 9 16 + t − 3 2 2 = 1 16 + 1 16 + t 2 ⇔ t = 5 3 12 ⇒ R = K C = 93 12 .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD (tham khảo hình vẽ bên). Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN
A. R = a 37 6
B. R = a 29 8
C. R = 5 a 3 12
D. R = a 93 12
Chọn D.
Áp dụng công thức tìm nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R 2 = x 2 + r 2 với
r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
x = S O 2 - r 2 2 h : S là đỉnh hình chóp , O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, h là chiều cao hình chóp
Cụ thể vào bài toán:
Đáy là tam giác CMN vuông tại C
Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN là trung điểm MN
Áp dụng công thức đường trung tuyến trong tam giác HMN tính được H O 2 = 5 a 2 8
Trong tam giác vuông SHO có
Cho hình chop S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 1, tam giác SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chop S.CMN
A. R = 29 8
B. R = 5 3 12
C. R = 39 12
D. R = 37 6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN là:
A. a 93 12
B. a 29 8
C. 5 a 3 12
D. a 37 6
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối SCMN là:
A . 3 a 2
B . a 3
C . 93 6 a
D . 31 12 a
Đáp án C.
Gọi H là trung điểm của AD 
Cho hệ trục tọa độ như hình vẽ => 
Trung điểm MN là 
có 
Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (ABCD)
=> d có vecto chỉ phương 
∆ NCM vuông tại C => I là tâm đường tròn ngoại tiếp
=> d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN
=> Tâm J của mặt cầu ngoại tiếp SCMN thuộc d
Ta có d qua 
và 
là vecto chỉ phương
=> Bán kính 
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối SCMN là:
A. 3 a 2
B. a 3
C. 93 6 a
D. 31 12 a
Đáp án C
Gọi H là trung điểm của A D ⇒ S H ⊥ ( A B C D ) ⇒ S H = a 3
Cho hệ trục tọa độ như hình vẽ ⇒ D ( a ; 0 ; 0 ) , M ( 0 ; 2 a ; 0 ) , N ( a ; a ; 0 )
⇒ Trung điểm MN là I a 2 ; 3 a 2 ; 0 có S 0 ; 0 ; a 3 , C a ; 2 a ; 0
Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (ABCD)
⇒ d có vecto chỉ phương k → = 0 ; 0 ; 1
∆ N C M vuông tại C là tâm đường tròn ngoại tiếp
⇒ d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN
⇒ Tâm J của mặt cầu ngoại tiếp SCMN thuộc d
Ta có d qua I a 2 ; 3 a 2 ; 0 và k → = 0 ; 0 ; 1 là vecto chỉ phương ⇒ d : x = a 2 y = 3 a 2 z = t
⇒ J a 2 ; 3 a 2 ; t mà J C = J S ⇒ a 2 2 + a 2 2 + t 2 = a 2 2 + 3 a 2 2 + a 3 - t 2
⇒ t = 5 a 3 6 Bán kính R = J C = 93 6 a .
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối SCMN là:
A. 3 a 2
B. a 3
C. 93 a 6
D. 31 a 12
